该文发表于《小学数学教师》2024年第4期。撰写此文，我们考证了大量的文史资料，耗费了极大的精力，撰稿时间长达半年多。

感谢我的学生马滔托同学到日本的图书馆查找资料，感谢我的师傅邱月亮特级教师提供了很多珍贵的信息，感谢《小学数学教师》编辑曲春蕊老师的心血付出——精细核实每个文献，严谨推敲文字表达。

写这样一篇文章，虽然极其辛苦，但却让自己的知识半径得以扩大，这很有意义。

文章较长，感兴趣者需耐心阅读。

比、比例，是两个很基本的数学概念。两个数中间加上比号就组成一个比，如5∶3；两个比相等的式子就组成一个比例，如5∶3＝10∶6。

这两个概念虽然不同，但在日常生活中，人们常常混用，尤其是会把“比”说成“比例”。比如，说一个人上下身比例不协调，这里的“比例”实际上是上下身长度之间的“比”；某地统计人口，女性人数多于男性人数，我们往往会说女性比例高于男性，这里的“比例”实际上也是一个“比”（或言“占比”）。不仅生活中如此，数学学习中类似情况也不少。如，“按比分配”，以前的教材上却称之为“按比例分配”；数值比例尺，实则就是一个比……这些现象，令很多学生乃至教师都疑惑不解。

“比”为何常被说成“比例”？其背后到底有怎样的故事？笔者对此产生了浓厚的兴趣，并为此查阅了大量文史资料，大致理清了这两个概念的来历和混用的原因。

一

“比”和“比例”两个概念源于古希腊。约公元前600年至公元前500年间，古希腊的毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”的理论，其中很重要的一个概念就是“比”。他们认为，数是世界万物的本原，各种事物的性质都能归结为数量之间的关系，而这种关系就可以通过两个正整数之比来表示。比如，一根拉紧的弦，若取全长的（即2∶3，当然，那时没有比号“∶”），就能发出和谐的纯五度音；又如，三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形……类似的经典事例很多，都说明“比”是古希腊人认识世界和描述世界的重要工具。“比”的提出，标志着人类对数学的认识及应用达到了新的高度——把事物的性质归结为数量关系，用严密的数量关系可以确切规定事物及其性质和运动。^[1]

“比例”应是伴随着“比”的概念而产生的。比如，一个直角三角形两条直角边的长度之比是3∶4，另一个直角三角形两条直角边的长度之比是6∶8，因为两个比相等，所以就能确定这两个三角形的形状是一样的。或者说，知道了某个直角三角形的一条直角边的长度是6，两条直角边的长度关系是3∶4，求出另一条直角边的长度为8。总之，通过关注和利用相等的比，人们就能以此来分析事物或创造事物，比也才能真正发挥其现实作用。比例的概念及相关研究，就在这样的背景下应运而生。

古希腊数学家欧多克索斯突破了毕达哥拉斯学派在比例研究中遇到的“不可公度比”困境，正式建立了比例论。相关的内容，后来被欧几里得纳入数学巨著《几何原本》（成书于公元前300年左右）。《几何原本》第五卷就是对比例论的详细阐述。

从上可见，在数学源头上，比和比例是两个概念，有紧密联系但并不相同，这在后世的文献中亦有体现。比如，1494年意大利数学家卢卡·巴其阿勒发表的著作《算术、几何、比及比例概要》（原著为拉丁文，书名为Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita）,书名中的“比”和“比例”就是两个有关联（词根相同）的词语。

二

那么，这两个概念（名词）在中国为什么会出现混用呢？这得从中国翻译西方数学著作说起。

前文说到的《几何原本》，是中国最早翻译引进的西方数学著作之一。1606年-1607年（明朝万历年间）,意大利传教士利玛窦与我国数学家徐光启合作，共同翻译了《几何原本》前六卷，这是首部中文版《几何原本》。就目前可考资料来判断，“比例”一词就在这个过程中成为汉语中的新名词。

在当时的译本中^[2]，第五卷有如下文字：

第三界：比例者，两几何以几何相比之理。两几何者，或两数，或两线，或两面，或两体，各以同类大小相比，谓之比例。（笔者注：所谓“两几何”，简而言之就是两个事物）

第四界：两比例之理相似，为同理之比例。（笔者注：所谓“理相似”，就是结果相同）

今人读以上文字，也许会对其中的“比例”两字不明所以，感觉似乎是在讲“比”的含义。的确如此，第三界讲述的就是如今“比”的概念，第四界讲述的则是如今“比例”的概念。若对照现代版《几何原本》^[3]中的相应概念，我们就能理解了。

卷5定义3：两个同类量彼此之间的一种大小关系叫做比。

卷5定义6：有相同比的四个量称为成比例的量。

根据上述材料，我们不难发现，最初的中文版《几何原本》把古希腊数学中原意为“比”的概念翻译成了“比例”，而没有给“比例”的概念赋予一个新的中文名称，仅称之为“同理之比例”。

利玛窦和徐光启怎么会想到新创“比例”这个中文名词， 至今已不可考，笔者查阅词源后推测：在欧几里得所著的《几何原本》及利玛窦翻译所依据的拉丁文版本（1574年出版）中，“比”的原意应当就是一个事物与另一个事物作比较得出的关系。汉语中的“比”就有“作比较”的意思，但是若直接取名为“比”，则会与汉语中该字的常见词性（动词）相冲突，如“两几何相比谓之比”，这似乎不妥。译者的解决办法就是加个“例”字——在古汉语中，“例”就是“比”，且还有“例子”之意，若把两字合在一起组成一个新词，既能将比较的原意蕴于其中，又具比较的结果可作例子之意，词性变为名词。这样的翻译，应当说是颇具匠心的。进而，既然把“比”取名为“比例”，那么将表示两个比相等的情况称之为“同理之比例”，不再赋以一个新的名词，就显得既简单又明了。

三

以上，应该是后世混淆“比”和“比例”两个名词的源头所在。之后的演变，则可能是循着如下线索。

在《几何原本》的翻译中，利玛窦和徐光启还创造了大量新的几何学名词，如点、线、面、平面、曲线、曲面、直角、钝角、锐角、垂线、平行线、对角线、三角形、四边形、多边形、圆、圆心、平边三角形（等边三角形） 、斜方形（菱形） 、相似、外切、几何，等等^[4]。因两人的影响力，这些名词为明末及清朝时期其他学者广泛接受，“比例”也就成为之后各类数学著作中的标准用词。

例如，1721年编成的《御制数理精蕴》，集中介绍了此前100多年间传入我国的欧洲数学知识，其中有根据法文版翻译而成的《几何原本》，内附《算法原本》（成书于1690年左右，它其实就是《几何原本》的第七卷）。在《算法原本》中，也是用“比例”来表示“比”的。

将两数相比，其度互为大小，则谓之比例。

有四率，两两相比，其一率与二率之比，同于三率与四率之比，则谓之同理比例。

因该书冠名“御制”，书中的各种数学名词自然得到了广泛的认可与流传。如同时期数学家年希尧出版的《面体比例便览》中，“比例”也是“比”或“比值”的意思。之后的一百多年间，“比例”一词就按这样的含义被继续使用着。1857年，数学家李善兰与英国人伟烈亚力翻译了《几何原本》后九卷，其中第七卷第二十界提及：

四数，若第一与二，偕第三与四，为同理之比例。

可见，至此时，“比例”的含义及用法与之前仍是一致的。

但是，随着清末西方大量数学科学著作东传，西方数学中用不同的符号来表达“比”和“比例”这两个有联系的概念这一做法引起了我国数学家的关注，促使他们不得不对“比例”的含义作出必要的调整。如在1859年，李善兰和伟烈亚力合译出版的《代微积拾级》一书中有如下记载：

丙∶甲∷乙∶天

在这个“式子”中，左右各有一个“∶”，表示比；中间用“∷”，表示两个比相等。更重要的是，如上形式的“式子”，在书中被称为“比例”，而这个“式子”，参照书中类似内容的表述，可读作“丙与甲之比，同于乙与天之比”。这是一个重要的标志——“比例”这个数学概念从此有了新的解释。

如上的新事物和新想法很快得到了推广。1872年，清朝数学家华蘅芳与傅兰雅合译的《代数术》一书中有如下表述：

如有任四个有比例之数，甲、乙、丙、丁，欲作四率之比例则书之如甲∶乙∷丙∶丁，或作甲∶乙＝丙∶丁。如欲读此式，则云甲与乙之比，若丙与丁之比。或云甲与乙之比，等于丙与丁之比，亦通。

显然，这段文字中的“比例”已不同于此前两百多年间所指代的含义了。而其中的符号“∶”，不仅有其特定的数学意义（表示两个数相除），且有了专门的读法——比。

用“比”这个字来表示两个数相比（相除），这与汉语中的“比”字表示比较的意思是天然相关的。例如，前文《算法原本》中的“有四率，两两相比，其一率与二率之比，同于三率与四率之比”，这虽是1690年的译文，但“比”表示两数相比（相除）的意思已显露无遗。“比”的这重含义一直为国人所理解和延续，哪怕是在“比例”替代“比”的两百多年中。

要特别指出的是，《代数术》中虽已使用“比”这个字，且出现了符号“∶”，但此时的“比”字应该还没有成为汉语中的一个数学名词。这在华蘅芳时隔21年后（1893年）出版的《学算笔谈》中有明证。该书第八卷中“代数释号”的内容，介绍了很多数学名词及符号。例如：

∶者与也，言其左数与右数也；

∷者若也，如也，所以明比例之理也；

如甲∶乙∷丙∶丁，言甲与乙之比，若丙与丁之比也。

很明显，此时还没有“比”这个数学名词。这可以当时的字典为证。图1为1908年商务书馆印制的《英华新字典》“算学记号”页面部分内容，其中有常见的数学符号及释义。从图中可见，有“∶”这个符号，它与“÷”都是除或分的意思，但没有“比”的中文名称。（注意：字典中明确给出了“比例”的样子，且命名为“比例式”，英文名为“proportion”）

四

“比”正式成为数学名词，据考应与日本学者确定数学名词的工作有关。资料显示，中国数学家翻译的西方数学著作，尤其是李善兰、华蘅芳的著作，传入日本后，对日本近代数学的发展起到了重要的推动作用，汉译的名词成为近代日本数学名词术语的主要来源。但是，日本在明治维新前后，数学的名词术语非常混乱，极不利于人们理解、传播及应用西方数学知识，统一数学名词术语成为日本有识之士们的共同愿望。1880年，确定数学术语的专门机构“译语会”成立。在译语会的持续研讨之下，至1886年，数学、算术、数量、单位、代数学、几何学、点、位置等500多条数学术语得以确定，这些成果集中刊载于学会期刊《数物学会记事》卷３中。^[5]在该刊中，“比”和“比例”两个数学名词悄然出现（图2、图3）。

这是笔者所见的最早作为数学名词的“比”。“译语会”把“比”单独定为一个数学名词的详情已不可考，但可想象的基本逻辑，应是要把“比”和“比例”作区分，以便于表述。     

19世纪末、20世纪初，中国有大量在日本求学的留学生，日本确定的数学名词术语也就通过这些留学生传回了中国。结合中国数学家已有的探索，“比”这个数学名词很快就在国内得到普遍认可和使用。图4为1909年出版的、依据清朝《奏定高等小学堂章程》编写的教科书《高等小学算术书》，里面已将“比”和“比例”分为两块教学内容。

其中对“比”的描述为：

凡甲数对于乙数之比，称甲为比之前项，乙为比之后项。

比例”则称之为“比例式”，含义为：

凡立式以表两比之相等者，称之曰比例式。

至此，官方教科书中明确把“比”作为一个数学名词，且区别于“比例”，二者在我国正式成为两个不同的数学概念（名词）。1938年出版的《算学名词汇编》，是我国首部现代数学词典，在该词典中，“比”和“比例”有各自的条目，区分明显。时至今日，两个名词含义清晰，再无混淆。例如，2002年出版的《数学辞海》中有如下定义：

比（ratio），亦称单比。算术术语。比较两个同类量之间的一种倍数关系，称为这两个同类量的比。

比例（proportion），算术术语。指四个数（或四个量）之间的一种关系式。如果两个数（或量）的比，等于另外两个数（或量）的比，则称这四个数（或量）成比例。^[6]

五

可想而知，因为在近三百年中，国人都用“比例”一词来表达“比”的含义，所以哪怕在过去的一百年间，“比”和“比例”两个名词在学术界已作区分，但“比例”曾经的含义早已广泛地应用于日常生活、生产劳动或文学艺术等各个领域。“比例”原有词义的传承，导致《现代汉语词典》中在释义“比例”一词时保留了“比重”“比”的含义。可见，现今人们常常把“比”说成“比例”，实在是一件很正常的事——这是由语言文字的历史积淀导致的。

回顾以上历史，我们的所得应不仅仅是了解了“比例”和“比”两个词语发生混淆的原因，我们更应感受到一代又一代的数学先贤在研究之路上不断开拓创新的学术精神。我们要学习这样的精神，因为数学知识的发展、人类社会的进步，依靠的都是这种精神。

作为数学教师，我们还应获得这样的启示：在教学中要规范地使用数学语言，以自己的精准表达和清晰示范，将知识严谨地传授给学生；在日常生活中，也应该多用公认的汉语词汇，以自己的行为来影响和改变身边的人，为语言文字规范的使用和传播作出努力。

顺带一提：在我国台湾省当下使用的数学教材中，没有正比例和反比例的名称，相应的知识就叫正比和反比。另据笔者所见，正比、反比、正比例、反比例等词语，在《数物学会记事》《算学名词汇编》《数学辞海》中均有出现，但含义表达又有差异。这究竟又是怎么回事，这中间的变迁史如何，感兴趣的读者可作深入研究。

参考文献：

[1]杨适.古希腊哲学探本（第一卷）[M].北京：商务印书馆，2003：167.

[2]欧几里得.几何原本[M].徐光启，利玛窦，译.上海：上海古籍出版社，2002.

[3]欧几里得.几何原本[M].兰纪正，朱宽恩，译.西安：陕西科学技术出版社，2003：119.

[4]杨泽中.利玛窦和徐光启翻译《几何原本》的过程[J].数学通报，2004（4）:36—38.

[5]萨日娜.近代日本数学名词术语的确定历程考[J],内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）.2020,49（5）：377-383.

[6]《数学辞海》编辑委员会.数学辞海[M].山西：山西教育出版社，2002：46-47.