“小数除法”是小学“数与运算”主题的核心内容之一,是培养学生运算能力的重要载体。
小数除法与整数除法的运算具有一致性,都凸显了核心概念“计数单位”在运算中的作用。
先看整数除法。二年级安排表内除法,借助乘法口诀直接获取表内除法运算的结果。三年级和四年级安排整十数除以一位数、两位数除以一位数、整十数除以整十数和三位数除以两位数。从教材看,在计算60÷2时,将60个一转化为6个十,再将6个十平均分成2份。在计算48÷3时,先分4个十,分出去3个十,再将余下的1个十转化为10个一,与8个一组合成18个一,然后平均分成3份。在计算80÷20时,则利用包含除的意义,将80个一和20个一分别转化为8个十和2个十,计算8里面有几个2。可见,整数除法运算都凸显了计数单位在运算中的作用,通过对计数单位的转化,实现对计数单位个数的细分,进而转化为表内除法进行运算。
再看小数除法。对于“除数是整数的小数除法”,教材中大都会出现两道例题:一是被除数大于除数,有余数而除不尽;二是被除数小于除数,需要商“0”占位。这两道例题就是整数除法遗留的问题(如下所示的人教版教材图片)。
教学中,要让学生由此产生认知冲突,感受学习小数除法的必要性。进而,借助“元、角、分”模型、画图、竖式计算等方式,引导学生用整数除法的算理、算法计算小数除法,体会小数除法计算就是逐步细分计数单位,从细分整数部分的计数单位走向细分小数部分的计数单位,这是小数除法与整数除法运算一致性的体现。
“小数除法”单元对应的核心素养主要是运算能力,其具体表现是“理解算法和算理之间的关系”以及“能够通过运算促进数学推理能力的发展”。
基于“教-学-评”一致性的理念,笔者参考了任教学校所在区域的权威测试题目。
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学生在列竖式解决除数是小数的小数除法问题时往往会出现“转化道理不明”的错误——直接划去除数和被除数的小数点,此题针对的就是这个问题,凸显命题注重考查学生对小数除法的算理与算法之间关系的理解。
再如,下题来源于北师大版教材,考查的是学生用计数单位解释除法竖式每一步的计算道理,同样关注的是学生对算理与算法之间关系的理解。
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三、制定可观察、可落实、可测评的单元学习目标
1.能借助“元、角、分”模型、画图等方式进行算理表征,能将“分——换——再分”的直观与竖式中的“除——换——再除”的抽象建立联系,用“元、角、分”模型、画图或计数单位解释竖式每一步的计算道理,感悟计数单位的作用。
2.知道小数除法既可以解决与小数有关的平均分问题,也可以解决整数除法解决不了的问题,当不够除时可以将被除数或余数换算成更小的计数单位继续除下去,进一步感悟计数单位在运算中的作用。
3.能够正确地计算小数除法,知道小数除法可以按照整数除法的算理、算法进行计算,其实质都是计数单位转化后的不断细分,感悟运算的一致性,发展运算能力和推理意识。